ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 В МЕХАНИКЕ

 

 

 

 

 

 Н.И.Клюев, Е.А.Соловьева

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЧЕНИЙ

 

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Издательство «Самарский университет»

2009

Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Самарского государственного университета

БКК 22.253

УДК 532.517

 

Клюев Н.И., Соловьева Е.А. Математические модели двухфазных

течений: Учебное пособие. - Самара: Изд-во «Самарский университет»,

 2010. – 51с.

 

 

          ISBN

          В учебном пособии  к спецкурсу «. Математические модели двухфазных течений» даны сведения об основных характеристиках двухфазных сред и режимах течений. Рассмотрены математические модели кольцевых течений, дисперсных потоков с твердыми включениями, а также критические режимы этих течений. Сформулированы краевые задачи о движении испаряющейся капли в потоке газа и течении пароводяной смеси в обогреваемом цилиндрическом канале.

          Пособие предназначено для студентов механико-математических факультетов университетов специальности «механика» и может быть полезно научным работникам в области гидродинамики двухфазных сред.

 

 

 

Рецензент

заведующий кафедрой аэродинамики Самарского государственного аэрокосмического университета, профессор В.Г.Шахов.

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ.  ДВУХФАЗНЫЕ ПОТОКИ

 

         Фазой называют одно из состояний вещества, которое может быть газообразным, жидким или твердым. Многофазное течение – это совместное течение нескольких фаз. Двухфазный поток представляет собой частный случай многофазного течения, включающий в себя два разнородных компонента. Это жидкости с твердыми или газовыми включениями, газы с каплями жидкости или твердыми частицами. В природе многофазными средами являются дым, туман, смог, дождь и т.д. В технике типичным примером двухфазного потока является поток пара с каплями жидкости. Даже при адиабатическом течении такой смеси в вертикальном канале капли жидкости соприкасаются со стенкой, образуя стекающую  пленку жидкости. Стекающая пленка взаимодействует со встречным потоком пара.

          Появление пленки изменяет гидродинамику течения. Так, при полете летательного аппарата в зоне дождя пленка жидкости на поверхности  вызывает изменения в пограничном слое, провоцируя преждевременный отрыв потока с несущих поверхностей и увеличение лобового сопротивления. Подобные течения встречаются в каналах при газификации криогенного топлива, в энергетике и химической промышленности при использовании пара.  Поэтому, изучение таких явлений является актуальной задачей.

          Рассмотрим установившееся течение двухфазной смеси. Важнейшими характеристиками такого потока являются массовые и объемные доли фаз соответственно в массовом и объемном расходе смеси. Введем понятие объемной концентрации легкой фазы – это доля объема смеси, занимаемая газом. Рассмотрим поперечное сечение канала, тогда средняя, объемная концентрация (объемное газосодержание) легкой фазы будет определяться выражением , где - площадь поперечного сечения, занимаемая газом, - площадь поперечного сечения канала. Значение  необходимо для определения веса вертикального столба двухфазной жидкости для анализа силового взаимодействия потока со стенкой канала. Средняя концентрация жидкой фазы - это доля объема смеси, занимаемая  жидкостью. Она будет выражаться величиной  . Плотность смеси запишется в виде

                                                  ,                                  (1)

где индексами «1» и «2» будем обозначать соответственно газ и капли жидкости, индекс «см» обозначает смесь, - плотность фазы.

          Объемное газосодержание отличается от объемного расходного газосодержания из-за относительного движения фаз. Расходная, объемная концентрация (газосодержание) определяется выражением

                                                     ,                                            (2)

где - объемный расход фазы.

Расходная массовая концентрация связана с расходной объемной концентрацией через плотности фаз

                                         ,                                    (3)

где - массовый расход фаз.

Используется понятие массовой концентрации

                                 ,  

Динамическая вязкость смеси вычисляется следующим образом

                                              ,                                              (4)

где - вязкость фаз.

             Если размеры капель соизмеримы с размерами молекул, то поток можно считать однородным, а скорости газа и капель жидкости в таком потоке одинаковыми. Такую модель течения называют квазигомогенной() уже отмечалось,  однородной и рассматриваетсяения, имея в виду скорость смеси и скорость жидкой пленки.  и говорят о двухскоростном режиме течения, имея в виду скорость смеси и скорость жидкой пленки. Для квазигомогенного потока объемная концентрация совпадает с расходной объемной концентрацией . В случае достаточно больших капель среда уже не является однородной и рассматривается трехскоростная модель дисперсно-пленочного течения. Такое течение имеет три характерные скорости: скорость газа, скорость капель и скорость жидкости в пленке. Заметим, что скорость капель всегда меньше скорости газа.

             Для неоднородной среды вводится понятие величины дрейфа или скорости скольжения фаз 

                                                                                (5)

где черта сверху обозначает среднюю величину.              

Двухфазный поток характеризуется приведенными скоростями или, что то же самое, плотностью объемного расхода

                                              .                               (6)

С точки зрения гидродинамики - это такие скорости, которые имели бы фазы при сохранении расхода и полном заполнении сечения канала. Тогда скорость смеси запишется в виде

                                            .                                     (7)

Двухфазные течения подчиняются всем основным законам гидромеханики, однако уравнения более сложны и многочисленны. Кроме того, уравнения движения для двухфазных течений являются незамкнутыми, и важной задачей при математическом моделировании является выбор дополнительных соотношений. Анализируя существующие методы расчета двухфазных потоков, можно отметить, что они опираются на обширный экспериментальный материал. Это и не удивительно, учитывая многообразие режимов течения двухфазной смеси.

Встречающиеся на практике режимы течения газожидкостных смесей в каналах можно разделить на виды в зависимости от объемной концентрации легкой фазы. По мере увеличения объемной концентрации газа это будут: пузырьковый, снарядный, диперсно-пленочный и дисперсный режимы.

Пузырьковый режим существует при объемной концентрации газа  При больших концентрациях происходит слияние пузырьков с образованием пузырей снарядообразной формы, занимающих почти все поперечное сечение канала. Таким образом, пузырьковый режим переходит в снарядный. Если скорость газовой фазы достаточно велика , то снарядная структура потока становится неустойчивой; на стенке канала появляется пленка жидкости, а ядро потока имеет пенообразную структуру.

При дальнейшем увеличении объемной газовой концентрации  реализуется пленочный или кольцевой режим течения, при котором жидкая фаза образует непрерывную пленку, текущую по стенке канала, а газовая фаза – ядро потока. Из-за динамического взаимодействия газового ядра потока и жидкой пленки на поверхности последней образуются волны, с гребней которых могут срываться капли и уноситься в ядро потока. В этом случае реализуется дисперсно-пленочный или дисперсно-кольцевой режим течения. При подводе тепла из внешней среды пленка испаряется и дисперсно-кольцевой режим течения переходит в чисто дисперсный – течение смеси пара и капель.

При течении газожидкостной смеси в вертикальных каналах для всех режимов течения имеет место практически осесимметричное распределение концентраций и скоростей фаз по сечению. При течении в горизонтальных и наклонных каналах из-за гравитации нарушается осевая симметрия в распределении фаз по сечению.

Построение математической модели кольцевого течения, даже для осредненных характеристик, представляет значительные трудности, поскольку задача формулируется как сопряженная, учитывающая взаимодействие двухфазного ядра потока с жидкой пленкой. Количество неизвестных величин  в этом случае доходит до десяти: это средние скорости фаз, средняя скорость жидкости в пленке, скорость на поверхности пленки, межфазное трение и трение на стенке, радиус и толщина пленки, потери давления по длине канала, средние объемная, расходная и массовая концентрации. Поэтому, использование дифференциальных соотношений, описывающих двухфазные потоки, не всегда оправдано и приводит к существенному усложнению задачи.

 Для некоторых, практически важных, задач достаточно определить интегральные характеристики течения, такие как средние скорости, средние концентрации в поперечном сечении канала, потери давления по длине и трение. Поставим задачу математического моделирования двухфазных течений, для которых достаточно определения интегральных характеристик. Тогда основной проблемой будет составление замкнутой системы уравнений, описывающих то или иное течение. Поскольку  задача решается численно, то возникает проблема выбора начального приближения, что само по себе вызывает определенные трудности. Обычно начальные приближения задают из физических соображений, а для сходимости решения используют метод последовательных приближений.

 

ГЛАВА 1. ДВУХСКОРОСТНОЙ РЕЖИМ ТЕЧЕНИЯ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ

         Режим течения пароводяной смеси называется двухскоростным, если по стенке канала стекает пленка жидкости, а ядро потока представляет собой квазиоднородную смесь, состоящую из пара и мелких капель жидкости. В этом случае можно воспользоваться теорией гомогенного течения, которая дает простейший метод исследования двухфазных потоков. Пароводяная смесь рассматривается, как квазиконтинуум, для которого определяются средние характеристики течения.

 

1.1. Воздействие внешнего потока на стекающую пленку жидкости.

         Рассмотрим восходящее течение пароводяной  смеси в вертикальном цилиндрическом канале. Поток будем считать квазигомогенным, а процесс адиабатическим. Ядро потока может представлять собой сухой или влажный  пар (с каплями жидкости).  Пленка имеет постоянную толщину и гладкую поверхность раздела. Тогда для установившегося процесса характеристики течения будут одинаковы в любом поперечном сечении канала.

Пусть расходы влажного пара в канале  и жидкости в пленке связаны соотношением

                           ,                              (8)

где- радиус пленки, индексом «3» будем обозначать параметры жидкости в пленке.

Если жидкость в пленку поступает извне, тогда ее расход не зависит от расхода пароводяной смеси и определяется формулой

                            .                                                 (9)

При восходящем течении смеси увеличение скорости потока приводит к тому, что поверхностные слои жидкости в пленке сначала затормаживаются, а затем увлекаются вверх  встречным потоком.

 На рис.1 изображен участок вертикального адиабатического канала, по внутренней стенке которого стекает пленка жидкости, взаимодействующая со встречным потоком смеси. Показан момент формирования пленки: начальная фаза течения – когда пленка еще не успела сформироваться; установившееся течение и промежуточный режим неустановившегося течения.

 

 

 

 

 

 

                      

 

Рис.1. Схема восходящего течения двухфазной смеси по цилиндрическому каналу: 1 – стенка, 2 – пленка жидкости, 3 – дисперсный поток,  - скорость жидкости в пленке,  - скорость смеси.

Взаимодействие пленки жидкости со встречным потоком осуществляется через напряжение трения на поверхности раздела фаз. Выделим внешнюю задачу о течении пароводяной смеси и внутреннюю задачу о течении пленки по стенке канала, а их сопряжение выполним через скорость на поверхности пленки и напряжение трения на поверхности раздела фаз. Эпюры скоростей (качественные) для противоточных течений смеси и жидкой пленки представлены на рис.2

                                  

Рис. 2. Противоточное течение:  -  напряжения трения   на   границе   раздела  фаз   и   на стенке,   - средние  скорости  смеси и  пленки   жидкости,    -  длина  участка канала,  - давления в двух  сечениях

 

Задание для самостоятельной работы:

1. сформулировать краевую задачу о ламинарном восходящем течении газа в вертикальной цилиндрическом канале при взаимодействии со стекающей пленкой жидкости.

2. записать аналитическое решение задачи.

 

Сформулируем математическую модель установившегося восходящего течения пароводяной смеси, контактирующей с пленкой жидкости. Жидкость в пленку подается принудительно, т.е. расходы смеси и жидкости не связаны. Для идентификации задачи зададим массовый расход жидкости в пленке , радиус канала  и температуру процесса для определения теплофизических характеристик.

         Смесь рассматриваем, как однородную жидкость; течение - ламинарное. Тогда математическая формулировка внешней задачи имеет вид (ось y направлена вверх по течению смеси)

                                                                       (10)

Граничные условия задачи соответствуют максимальной скорости на оси канала и равенству скоростей на границе раздела фаз.

          Решая краевую задачу (10), найдем напряжение трения на границе раздела фаз, которое, в дальнейшем, перенесем на поверхность пленки

                                                ,                                      (11)

где  - скорость смеси на границе раздела фаз (здесь и далее в формулах для относительной скорости следует брать «+», если скорости   и  разнонаправлены, и «-», если скорости  и  однонаправлены), - динамическая вязкость,  - ускорение свободного падения.              

Поставим задачу о ламинарном течении жидкой пленки по стенке вертикального цилиндрического канала под действием силы тяжести и сил трения (ось y направлена вниз). Уравнение движения имеет следующий вид

                            .                                   (12)

Градиент давления  выразим из условия равенства давления в поперечном сечении канала для смеси и жидкой пленки, т.е. , где - давление в смеси. Выделим объем канала, ограниченный двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми  и рассмотрим силы, действующие на выделенный объем смеси и пленки.

На смесь в направлении движения действует перепад давления; в обратном направлении действует сила тяжести и поверхностная сила трения. Тогда баланс сил запишется в следующем виде

                                         

или                                                                  (13)

где и- давление в выделенных поперечных сечениях канала.

Для ламинарного потока сила тяжести значительно превосходит трение на межфазной поверхности, поэтому получим приближенное выражение   и, тогда математическая формулировка задачи для стекающей пленки запишется в  виде

                                                                              (14)

где граничные условия определяют трение  на поверхности пленки, полученное из решения внешней задачи, и условие прилипания жидкости на стенке канала.

       Решение краевой задачи (14) дает скорость жидкости в пленке

            ,             (15)

тогда средняя скорость жидкости будет определяться выражением

                    ,                                                   (16)   

а скорость жидкости на поверхности пленки запишется в виде

                    .                (17)

Трение на стенке канала найдем в соответствии с законом Ньютона

                          .                           (18)

Тогда, математическая модель кольцевого (ламинарно-ламинарного) течения будет включать в себя систему уравнений (9),(11),(16)-(18).

Пусть течение смеси имеет турбулентный характер. Тогда в качестве решения внешней задачи воспользуемся законом Блазиуса для межфазного трения. Подвижную границу потока учтем, используя относительную скорость на межфазной поверхности, плотность смеси вычислим по формуле (1)

                                            ,                                            (19)    

где – число Рейнольдса, вычисленное по расходной скорости, – относительная скорость. 

Задание для самостоятельной работы:

1. сформулировать краевую задачу о ламинарном нисходящем течении жидкой пленки по цилиндрической стенке при взаимодействии со встречным потоком газа .

2. записать аналитическое решение задачи.

 

Запишем баланс сил, действующих на выделенный объем пленки (рис.2). На пленку в направлении движения действует сила тяжести; в обратном направлении действует перепад давления и поверхностные силы трения на межфазной поверхности и стенке канала. Тогда будем иметь

                                       

или                                                              (20)

Используя условие постоянства давления в поперечном сечении канала, приравняем правые части выражений (13) и (20). Тогда, после некоторых преобразований, получим балансовое уравнение для сил, действующих на выделенные объемы смеси и пленки.

                                   ,                             (21)

где - трение на стенке канала, в формуле (21) следует брать «+», если скорости   и  разнонаправлены, и «-», если скорости  и  однонаправлены. 

При ламинарном течении пленки уравнения (18) и (21) тождественны, однако для турбулентной пленки уравнение (21) приобретает самостоятельное значение, и в дальнейшем будем использовать только (21). Тогда, математическая модель кольцевого (турбулентно-ламинарного) течения будет включать в себя систему нелинейных алгебраических уравнений (9),(16),(17),(19) и (21).

Используя указанную модель кольцевого течения, был выполнен численный расчет параметров течения при следующих входных данных: восходящая двухфазная смесь состоит из пара и воды при температуре , , , , , радиус канала мм, концентрация легкой фазы , жидкость в пленку подается принудительно с расходом . Расчетные данные приведены в таблице 1.

                                                                                                                             Таблица 1

1

1.4

0.153

0.168

9.879

0.289

-0.675

0.85

114

2

1.8

0.140

0.115

9.868

0.405

-0.647

1.09

114

3

2.0

0.134

0.085

9.861

0.467

-0.637

1.21

114

4

2.2

0.127

0.052

9.854

0.533

-0.630

1.33

114

5

2.4

0.121

0.017

9.846

0.601

-0.627

1.45

114

6

4.0

0.078

-0.38

9.762

1,184

-0.620

2.40

114

 

где  (течение в пленке ламинарное, если  400).

 

Из таблицы следует, что с ростом скорости встречного потока скорость жидкости в пленке, а также скорость на поверхности пленки уменьшаются; трение на межфазной поверхности и толщина пленки увеличиваются. Числа Рейнолдса показывают, что поток турбулентный, а пленка ламинарная.

На рис.3а и рис.3в показаны профили скоростей в пленке для режимов течения №1 и №3.

         

Рис.3а. Профиль скоростей  в пленке       Рис.3в. Профиль скоростей в пленке

при воздействии встречного потока        при воздействии встречного потока

пара для                                          пара для

 

Из графиков видно, как внешний поток двухфазной смеси воздействует на стекающую пленку:  слои жидкости на межфазной поверхности затормаживаются, и максимум скорости сдвигается вглубь пленки.

         Если скорость встречного потока продолжает возрастать, то скорость жидкости на поверхности пленки сначала уменьшается до нуля, после чего на поверхности пленки возникает обратное течение (режим №6) рис.3с. 

Рис.3с. Разворот пленки под действием  встречного турбулентного

             потока пара

 

В случае, когда жидкость в пленку поступает извне, обратное течение на поверхности пленки приводит к тому, что количество жидкости в районе источника накапливается и, в конце концов, заполняет весь канал – такой режим приводит к захлебыванию течения.

 

 

Задание для самостоятельной работы:

1. составить программу расчета параметров турбулентно-ламинарного  течения (система уравнений (9),(10) и (12)-(14 )), получить численное решение и построить график скорости для пленки.

2. сделать анализ, как изменятся параметры течения при снижении концентрации легкой фазы?

 

Сформулируем задачу, когда турбулентный поток смеси и ламинарная пленка жидкости двигаются по цилиндрическому каналу вниз. Тогда в системе уравнений (9),(16),(17),(19) и (21) следует изменить знак у межфазного трения, формула (19). Результаты численного расчета (температура , радиус канала мм, концентрация легкой фазы , расход жидкости в пленке  ) представлены в таблице 2.

 

                                                                                                                             Таблица 2

1

0.5

0.198

0.314

9.907

-0.101

-0.84

3.04

114

2

1.0

0.214

0.357

9.914

-0.235

-0.92

6.09

114

3

1.5

0.235

0.412

9.921

-0.422

-1.04

9.15

114

4

2.0

0.260

0.474

9.929

-0.657

-1.22

12.21

114

 

Для анализа полученных результатов необходимо учесть, что расход жидкости в пленке остается постоянным для всех режимов течения. Из таблицы следует, что увеличение скорости смеси разгоняет поверхностные слои жидкости в пленке, трение на межфазной поверхности возрастает (по модулю), толщина пленки уменьшается. Числа Рейнолдса показывают, что поток турбулентный, а пленка ламинарная.

Распределение скоростей в пленке по данной модели для режима №2 показано на рис.4с.

                    

             Рис.4с. Воздействие спутного потока пара на стекающую пленку

Задание для самостоятельной работы:

1. сделать анализ, как изменятся параметры течения при снижении концентрации легкой фазы?

 

 1.2. Режим сепарации влажного пара.

Изменим условия математического эксперимента. Пусть пароводяная смесь с расходом  и концентрацией легкой фазы  подается в вертикальный цилиндрический канал. При этом вся жидкость из потока переходит в пленку. Концентрация пара в потоке возрастает до . Сухой пар (без капель жидкости) течет вверх, а пленка стекает вниз (жидкость в пленку поступила из пароводяной смеси). Такой режим необходим для эффективной работы сепаратора, где происходит осушение влажного пара (работа пленочного сепаратора основана на осаждении капель на влажной стенке сепаратора и последующем отводе влаги через специальное устройство).

Cмоделируем режим осушки влажного пара в вертикальном пленочном сепараторе. По определению концентрации запишем её величину для жидкости

 ,  откуда найдем  .                      (22)

Математическая модель турбулентно-ламинарного течения будет включать в себя уравнения расхода (8), трение на межфазной поверхности (19), скорости пленки (16) и (17), балансовое уравнение (21) со знаком «+» (разнонаправленные течения) и формулу для радиуса пленки (22).

Результаты расчетов по данной модели для пароводяной смеси при температуре , (с ростом температуры резко возрастает плотность пара), , , , мм и концентрации 0.96 представлены в таблице 3.

                                                                                                                             Таблица 3

1

0.015

1.93

0.270

0.22

0.431

-0.67

5.44

334

2

0.018

2.44

0.177

0.03

0.539

-0.56

6.88

221

3

0.019

2.61

0.145

-0.02

0.577

-0.52

7.36

181

4

0.020

2.78

0.113

-0.08

0.616

-0.48

7.84

141

5

0.022

3.13

0.047

-0.22

0.700

-0.40

8.82

59

 

Из таблицы видно, что с увеличением расхода смеси  трение на поверхности пленки растет, а скорость в пленке и трение на стенке (по абсолютному значению) уменьшаются. Скорость на поверхности пленки уменьшается до нуля, после чего возникает обратное течение. Характер изменения скоростей в пленке совпадает с рис.3. Числа Рейнольдса показывают, что течение пара  турбулентное, а пленки - ламинарное.

Возможен режим течения, когда встречный турбулентный поток разворачивает турбулентную пленку (рис.5). 

                                   

Рис.5. Профили скоростей для смеси и для жидкости в пленке при полном

            развороте пленки под действием встречного потока

 

Для турбулентной пленки уравнения (16) и (17) следует заменить формулами Нигматуллина [1]. Где трение на поверхности пленки определяется выражением  

                                      ,      .                            (23)

Формула (23) получена Нигматулиным при обработке экспериментальных данных и подтверждает гипотезу об аналогии трения турбулентного газокапельного потока о пристенную жидкую пленку с трением развитого турбулентного потока однофазной жидкости о шероховатую трубу, когда коэффициент трения не зависит от числа Рейнольдса, а зависит только от шероховатости трубы. При этом эффективная шероховатость пленки однозначно определяется ее средней толщиной. Отметим, что формула (23) записана для волновой пленки. Кроме того, средняя скорость жидкости в турбулентной пленке связана со скоростью на ее поверхности соотношением

                                               .                                                  (24)

Трение на стенке канала вычислим через закон Блазиуса, записанный для эквивалентного радиуса пленки. Эквивалентный радиус пленки характеризует условный канал полностью заполненный жидкостью. Для этого приравняем смоченный периметр реального и гипотетического канала , выполним следующие преобразования , площадь в правой части равенства заменим на площадь пленки в поперечном сечении, тогда . Откуда найдем эквивалентный радиус пленки  . Для приближенного решения , но , тогда .        И закон Блазиуса запишется для турбулентной пленки

 ,        где  .                             (25)

Качественное распределение скоростей в смеси и пленке соответствует рис.5.

Результаты расчетов турбулентно-турбулентного течения при переменной

объемной концентрации и радиусе канала представлены в таблице 4.

                                                                                                                                 Таблица 4

0.90

0.205

9.63

1.16

1.28

-5.37

-4.27

1.31

1847

15.64

0.91

0.184

9.81

1.11

1.22

-5.08

-4.07

1.35

1589

16.14

0.92

0.163

10.1

1.06

1.16

-4.75

-3.84

1.39

1339

16.82

0.93

0.143

10.3

0.99

1.09

-4.39

-3.58

1.43

1100

17.33

0.94

0.122

10.5

0.93

1.02

-3.99

-3.28

1.47

875

17.85

0.95

0.101

10.7

0.85

0.93

-3.55

-2.95

1.50

667

18.40

0.96

0.088

10.9

0.76

0.84

-3.09

-2.59

1.53

479

18.80

 

где  – толщина пленки жидкости.

         Математический эксперимент показывает, что с ростом концентрации легкой фазы толщина пленки и средняя скорость жидкости в пленке уменьшаются. На рис.6 показаны зависимости межфазного трения и трения на стенке от числа Рейнольдса (, радиус канала, ).

 

Рис.6. Зависимость межфазного трения и трения на стенке канала от числа Рейнольдса (величина трения взята по модулю)

Отметим, что трение на поверхности пленки и трение на стенке канала возрастают при увеличении числа Re3. Как и следовало ожидать, межфазное трение превышает трение на стенке канала.

 

1.3. Дисперсно-кольцевое течение.

Пусть двухфазная пароводяная смесь с расходом  и концентрацией легкой фазы  подается в вертикальный цилиндрический канал. Для установившегося течения часть жидкости из смеси переходит в пленку, при этом, концентрация пара возрастает. Будем рассматривать восходящие течения  турбулентного ядра потока и турбулентной пленки. Выделим начальную фазу процесса, когда пленка еще не сформировалась и установившееся течение (рис.1). Воспользуемся условием постоянства газового расхода

                                 ,                                (26)

где  - начальная скорость смеси.

Расходы пара и жидкости связаны; и закон сохранения массового расхода, по-прежнему, будет определяться формулой (8).

Тогда математическая модель турбулентного восходящего течения смеси и турбулентного восходящего течения пленки будет включать в себя систему алгебраических уравнений (8),(19),(21),(23) - (26). Предполагаемое распределение скоростей в смеси и пленке соответствует рис.5. Решение указанной системы уравнений выполнялось численно в среде программирования MathCAD для пароводяной смеси с расходом , при температуре , , ,  ,  и радиусе канала  при различных значениях массовой концентрации.

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

 

 

 

 

                                                                                                Таблица 5

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6

0,607

0,07

0,285

2,99

3,13

0,60

0,69

2,37

1,26

9,57

1336

0,7

0,706

0,104

0,203

3,84

3,97

0,70

0,87

2,98

2,05

9,51

1202

0,8

0,804

0,165

0,122

5,38

5,49

0,98

1,12

4,21

3,62

9,49

926

0,85

0,852

0,218

0,082

6,72

6,81

1,12

1,27

5,46

5,02

9,49

706

0,9

0,901

0,306

0,041

8,94

9,00

1,27

1,44

7,68

7,45

9,49

403

 

где - толщина пленки, , ,  .

На рис.7  показано изменение  толщина пленки в зависимости от расходного газосодержания в логарифмических координатах.

 

             

       Рис.7. Влияние расходного паросодержания на среднюю толщину

            пристенной пленки:  Δ – расчетные значения

 

 

  На рис.8  показано изменение  средних скоростей  смеси и пленки

 

           

       Рис. 8. Влияние расходного паросодержания на среднюю скорость

                      смеси и пленки

 

   Известно, что течение жидкости в пленке становится турбулентным при > 400, турбулентный режим течения двухфазной смеси реализуется при  2300. Из таблицы видно, что течения двухфазной смеси и жидкости в пленке имеют турбулентный характер. Режим течения для начальной объёмной концентрации  является граничным, поскольку при дальнейшем увеличении  пленка становится ламинарной и необходимо переключаться на ламинарную модель течения (если это необходимо).

Результаты расчетов показывают, что для установившегося режима течения объемная газовая концентрация возрастает по сравнению с начальной фазой течения. С увеличением газовой концентрации толщина жидкой пленки уменьшается, а скорость двухфазной смеси и скорость жидкости в пленке возрастают. Как  и следовало ожидать трение на межфазной поверхности превышает трение на стенке канала, что показано на рис.9.

              

       Рис.9. Влияние расходного паросодержания на межфазное трение

                       и трение на стенке канала

Потери давления для двухфазной смеси по длине канала вычисляются по формуле                                                                           

            

       Рис. 10. Влияние расходного паросодержания на потери давления

                      по длине канала

 

Из графика следует, что на потери давления по длине канала быстро возрастают при увеличении расходного паросодержания.

Задание для самостоятельной работы:

1 сделать анализ, как изменятся параметры течения при увеличении расхода смеси?

2. составить программу расчета параметров турбулентно-ламинарного  течения двухфазной смеси и пленки жидкости, получить численное решение и составить таблицу.

 

1.4. Взаимодействие стекающей пленки со встречным потоком пара в транспортной зоне термосифона

         Термосифон представляет собой теплопередающее устройство, принцип работы которого основан на использовании скрытой теплоты фазовых переходов теплоносителя (жидкости).  Циркуляция теплоносителя в термосифоне осуществляется за счет силы тяжести. Жидкость испаряется при подводе тепловой энергии, через транспортную зону пар попадает в конденсатор, где конденсируется и в виде пленки стекает в испаритель (рис.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11. Схема транспортной зоны термосифона: 1- стекающая пленка

  жидкости, 2- поток пара, 3 – стенка

 

          Взаимодействие пленки со встречным потоком пара определяет предельные тепловые потоки термосифона, поэтому моделирование данной сопряженной гидродинамической задачи является актуальной проблемой.

         Смоделируем установившийся процесс взаимодействия фаз для транспортной зоны вертикального цилиндрического термосифона радиуса R. При подводе значительной тепловой энергии жидкость в испарителе термосифона может разбрызгиваться, тогда капли жидкости, попадая в паровой поток, превращают его во влажный пар.

          Влажный пар будем считать квазигомогенной средой, с турбулентным режимом течения; течение пленки ламинарное или турбулентное, поверхность пленки гладкая. Решение для ламинарной пленки имеет вид (16) и (17). В качестве решения внешней задачи воспользуемся законом Блазиуса для межфазного трения (формула (19)).

          Дополним систему уравнений условием постоянства давления в поперечном сечении канала (21). Чтобы замкнуть систему уравнений, описывающих взаимодействие влажного турбулентного пара с ламинарной пленкой в транспортной зоне термосифона, запишем равенство массовых расходов для потока смеси и жидкости в пленке, а также связь тепловой энергии с потоком массы

                                      ,                                  (27)

 ,                                             (28)

где -скрытая теплота парообразования.

Тогда математическая модель процесса будет включать в себя систему нелинейных алгебраических уравнений (16),(17),(19),(21),(27) и (28), которая решается численно. В результате решения определяются величины .

Характеристики процесса: радиус канала мм, теплоноситель-ацетон, температура ,  , , ,, . Результаты расчетов по предложенной модели представлены в таблице 6

Таблица 6

500

0.32

0.17

0.25

9.879

1.211

0.012

-0.853

1.19

78

600

0.39

0.19

0.29

9.871

1.289

0.016

-0.905

1.43

93

700

0.45

0.21

0.32

9.864

1.360

0.020

-0.951

1.66

109

800

0.52

0.23

0.35

9.858

1.424

0.025

-0.993

1.90

124

900

0.58

0.25

0.38

9.852

1.484

0.029

-1.030

2.14

140

1000

0.65

0.27

0.40

9.846

1.540

0.034

-1.065

2.38

156

1100

0.72

0.29

0.42

9.841

1.593

0.040

-1.097

2.62

171

1200

0.78

0.31

0.45

9.836

1.644

0.045

-1.127

2.86

187

1300

0.85

0.32

0.47

9.831

1.692

0.051

-1.155

3.10

203

        

         При увеличении скорости потока трение на межфазной поверхности возрастает, поверхностные слои жидкости в пленке затормаживаются. Может возникнуть  режимом течения, когда с поверхности пленки срывается капля и уносится встречным потоком в конденсатор. Это явление возникает, когда силы инерции потока сравниваются с силами поверхностного натяжения пленки. Срыв капель ограничивает передаваемую тепловую мощность.

         Для моделирования этого процесса используется критерий Вебера, для которого сила инерции внешнего потока становится равной силе поверхностного натяжения пленки жидкости

       .                                 (29)

Тогда уравнение (28) следует заменить условием срыва капель (29), и математическая модель будет включать в себя уравнения (16),(17),(19),(21),(27) и (29). Численное решение, указанной системы, дает критическую скорость потока, при которой начинается срыв капель с поверхности ламинарной пленки: .

Если пленка турбулентная и течет вниз, то уравнения (16) и (17) следует заменить формулой Нигматуллина (23) и законом Блазиуса, записанным для эквивалентного радиуса пленки (25). Чтобы система уравнений была замкнутой можно положить . Результаты расчетов при различной концентрации пара  для турбулентно-турбулентной модели представлены в таблице 7

                                                                                              Таблица 7

0.99

2.68

0.64

9.735

2.646

0.178

-1.696

9.73

633

0.98

1.91

0.71

9.703

2.968

0.098

-1.981

12.14

788

0.97

1.54

0.75

9.679

3.207

0.068

-2.155

13.93

904

0.96

1.31

0.78

9.660

3.401

0.051

-2.280

15.40

998

0.95

1.15

0.81

9.643

3.567

0.041

-2.376

16.66

1079

0.94

1.03

0.83

9.629

3.712

0.035

-2.453

17.78

1150

0.93

0.94

0.85

9.616

3.843

0.030

-2.517

18.78

1214

 

Как и следовало ожидать, критическая скорость убывает с уменьшением концентрации легкой фазы.

 

1.6. Кризис ”захлебывания” течения.

Рассмотрим более подробно процесс захлебывания. Если жидкость в пленку поступает извне, то обратное течение на поверхности пленки приводит к тому, что количество жидкости в районе источника накапливается и, в конце концов, заполняет весь канал – такой режим приводит к захлебыванию течения. Это явление играет важную роль при расчете противоточных аппаратов и определяет максимально возможный расход одной из фаз при заданном расходе другой.

Модель воздействия встречного потока на стекающую пленку жидкости в виде трения на гладкой поверхности раздела фаз оказывается недостаточной. Уже, при сравнительно небольших числах Рейнольдса (Re3 ≥30), на поверхности пленки возникают волны, которые изменяют картину взаимодействия пленки со встречным потоком газа. К силе трения добавляется, так называемое, сопротивление формы, которое существенно увеличивает воздействие. Кроме того, необходимо учесть, что параметры волны зависит от толщины пленки: для тонкой пленки волна формируется с меньшей амплитудой. Поэтому, чтобы развернуть тонкую пленку, необходима большая скорость набегающего потока.   

Математическая модель процесса существенно усложняется. В данном случае для определения характеристик течения целесообразно использовать одно из полуэмпирических критериальных уравнений, которые сформулированы для явления захлебывания.

Смоделируем процесс захлебывания. Турбулентная пленка с расходом (9) стекает по стенке канала. Поверхностные слои жидкости лод действием встречного потока затормаживаются. Пусть скорость жидкости на межфазной поверхности равна нулю (), что соответствует началу процесса захлебывания. Далее, воспользуемся законом постоянного давления в поперечном сечении канала (21) и формулой Нигматуллина (23). Трение на стенке определим по эквивалентному радиусу пленки (25).

Замкнем систему уравнением критерием захлебывания [2]   

  ,                                           (30)

где – безразмерные комплексы для газа и жидкости, – приведенные скорости для пара и жидкости. Таким образом, математическая модель захлебывания включает в себя систему нелинейных алгебраических уравнений (9),(21),(23),(25) и (30), что позволяет определить характеристики процесса . Потери давления по длине канала найдем из баланса сил, действующих на выделенный объем пара .

Решение по предложенной модели выполнялось численно для турбулентного течения пара и турбулентного течения пленки при давлении  и радиусе канала .  Задавая массовый расход воды в пленке , найдем характеристики течения. Результаты расчетов режима захлебывания представлены в таблице 8 (потери давления показаны на длине канала ).                                                                                                                                                                                           Таблица 8

2.0

21.2

0.40

0.88

0.98

0.09

-3.26

8.1

2460

19.2

3.0

12.7

0.30

1.3

0.78

0.16

-2.36

12.0

1466

22.0

4.0

7.4

0.22

1.7

0.61

0.21

-1.66

15.8

850

24.0

5.0

3.8

0.16

2.1

0.45

0.25

-1.06

19.6

435

26.0

 

Расчеты показывают, что для захлебывания тонкой пленки требуется большая скорость встречного потока. С увеличением расхода пара межфазное трение возрастает, а трение на стенке канала по модулю уменьшается. Средняя скорость жидкости в пленке также уменьшается, режимы течения пара и жидкости в пленке турбулентные.

На рис.12 показано сравнение расчетных и экспериментальных данных  для начала процесса захлебывания.  Видно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных. Пленка еще не потеряла устойчивость; жидкость накапливается в районе источника и в точке, где , происходит выброс жидкости из канала.

 

              

Рис. 12. Зависимость расхода жидкости в пленке, перепада давления и толщины пленки от расхода пара в режиме захлебывания: точки – экспериментальные данные [4]; линии – аппроксимация расчетных значений

 

ГЛАВА 2. ТЕЧЕНИЯ СО СКОЛЬЖЕНИЕМ ФАЗ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

 

2.1. Жидкостной поток с твердыми частицами в вертикальном канале.

         Если твердые частицы достаточно велики, то среда уже не является однородной и необходимо рассматривать раздельное движение фаз с учетом их скольжения. При этом, в математической модели течения вместо скорости смеси появляются скорость газа  и  скорость частиц . Следовательно, к уравнениям, описывающим квазигомогенную модель течения, необходимо добавить еще одно уравнение. Дополнительное условие можно получить, рассматривая взаимодействие частиц с газовым потоком.

Рассмотрим восходящее течение двухфазной смеси, состоящей из жидкости с твердыми частицами, в вертикальном цилиндрическом канале. Для установившегося процесса возможны три варианта движения частиц:

1. частицы двигаются вверх вместе с жидкостью, такое движение называют псевдоожижением твердой фазы;

2. частицы зависают в канале, в этом случае режим течения называется ”захлебыванием”, т.к. вдув твердой фазы перекрывает канал;

3. частицы опускаются на дно канала – это режим осаждения.

         Указанные режимы течения определяются в зависимости от результирующей силы, с которой поток действует на частицу. При этом следует учесть, что в неоднородном поле скоростей на частицы действует сила Магнуса. Частицы оттесняются в ядро потока и не соприкасаются со стенкой канала. Таким образом, частицы не оказывают прямого влияния на величину трения на стенке.

 

2.2. Модель потока дрейфа в вертикальном канале.

Для анализа восходящего течения выделим в канале объем смеси двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми , и запишем баланс сил, действующих на единицу объема смеси. Сила тяжести уравновешивается градиентом давления, трением и силами взаимодействия между компонентами . Тогда для твердых частиц

                                               ,                                     (31)

где - сила лобового давления потока жидкости на частицы.

Баланс сил для жидкости

                                                  ,                              (32)

где - сила, обусловленная трением жидкости о стенку канала.

Вычитая (32) из (31), получим для единицы объема

                                      .                             (33)

Если единственная частица находится в потоке жидкости, то по направлению движения на частицу действует сила лобового давления Стокса. Если частица находится в потоке смеси, то её гидродинамика изменяется за счет влияния соседних частиц. Тогда, силу лобового давления на частицу запишем в виде

           ,                                           (34)

где  средняя относительная скорость частицы, - число Рейнольдса, вычисленное по скорости осаждения сферической частицы в неподвижной среде под действием силы тяжести, - число Рейнольдса, вычисленное по скорости дрейфа твердых частиц ,  - площадь поперечного сечения сферической частицы.

Для определения  приравняем силу тяжести (за вычетом силы Архимеда) силе сопротивления Стокса    

             ,              (35) 

откуда найдем скорость осаждения частицы .

Найдем силу лобового давления потока жидкости на частицы. Если известна концентрация смеси , то объем занимаемый твердой фазой будет . Объем сферической частицы , тогда количество частиц в выделенном объеме

                                               .                                           (36)

Суммарная сила лобового давления на частицы, приходящаяся на единицу объема смеси, будет определяться выражением

                                    .                              (37)

С учетом (37), уравнение (33) примет вид

                                  .                       (38)

Трение на стенке для ламинарного или турбулентного потоков двухфазной смеси определяется формулами

                                ,      ,                    (39)

тогда сила трения на единицу объема смеси запишется в виде

.                                      (40)

Объединяя (38) и (40), получим

                                 .                               (41)

Уравнение (41) будем использовать для моделирования течений двухфазной смеси со скольжением фаз.        

Воспользуемся понятием скорости скольжения фаз или скоростью дрейфа и введем величину плотности потока дрейфа или приведенную скорость дрейфа

                                                                                    (42)

это плотность объемного расхода твердой фазы через поверхность, движущуюся со скоростью смеси. Модель потока дрейфа представляет собой течение со скольжением фаз, в котором нас интересует не движение отдельных компонентов, а их относительное движение. Преобразуем (12) к виду

                            .                 (43)      

Объединим уравнения (41) и (43)

.                  (44)    

Сила трения на стенке вертикального канала значительно меньше силы тяжести, тогда (44) можно заменить приближенным выражением

    .                         (45)    

Тогда модель потока дрейфа будет определяться уравнением (45), откуда видно, что плотность потока дрейфа зависит только от свойств системы.

         На рис.(13) представлена зависимость безразмерной плотности потока дрейфа от объемной концентрации частиц при псевдоожижении различных материалов водой. Результаты представлены в безразмерном виде, как зависимость  от концентрации частиц . Для взвеси твердых частиц в воде функция  резко обрывается в точке, соответствующей нагромождению частиц с образованием плотного слоя. Для твердых сферических частиц эта точка   .

         

 

Рис.13. Зависимость безразмерной плотности потока дрейфа от объемной концентрации частиц в восходящем потоке воды для различных материалов: линия – расчетные данные, номера – экспериментальные данные (1 – морской песок , 2 – стекло , 3 - стекло , 4 -свинцовая дробъ ,  5 - морской песок , 6 - морской песок )

 

2.3. Восходящее течение жидкости с твердыми частицами в вертикальном канале

Рассмотрим восходящее течение смеси, состоящей из воды при температуре  и стальных () частиц  с концентрацией  в вертикальном цилиндрическом канале радиуса мм. Тогда, математическая модель течения будет включать в себя уравнение массового расхода жидкости

                                      ,                                             (46)

трение на стенке (39) и уравнение (41), характеризующее взаимодействие частиц с жидкостью. Потери давления по длине канала найдем  из (31)

                                      .                              (47)

Результаты расчета по предложенной модели течения представлены в таблице 9.                                                                                              

Таблица 9

1

0.02

0.067

-0.267

0.029

1.297

1.273

2

0.06

0.201

-0.129

0.201

1.301

3.820

3

0.098

0.329

≈ 0

0.475

1.306

6.239

4

0.14

0.470

0.140

0.886

1.314

8.913

5

0.18

0.604

0.275

1.375

1.324

11.46

                                                                                                                        

где  вычислено по приведенной скорости несущей фазы.

Характер течения определяется знаком  Из таблицы видно, что режимы течения №1,2 соответствуют осаждению частиц, режим №3 характеризует зависание частиц, для режимов №4,5 частицы увлекаются вверх восходящим потоком. Отметим, что для любых режимов  и, при увеличении расхода смеси, трение на стенке и потери давления по длине канала растут.

Задание для самостоятельной работы:

1. составить программу расчета параметров восходящего потока с твердыми частицами  (система уравнений(47),(49) и (53 )), получить численное  решение и построить график скорости для твердых частиц в зависимости от расхода жидкости.

2. сделать анализ, как изменятся параметры течения при уменьшении радиуса частиц?

 

2.4. Трехскоростная модель дисперсно-пленочного течения.

Используя полученное уравнение (49), рассмотрим восходящее установившееся течение пароводяной смеси в вертикальном цилиндрическом канале, когда ядро потока состоит из пара и капель жидкости, а по стенке канала течет пленка. Пусть капли жидкости равномерно распределены по сечению канала, но достаточно велики, чтобы смесь можно было считать однородной жидкостью. Следовательно, можно говорить о трехскоростном течении фаз с постоянными концентрациями, которые зависят только от начальных условий задачи.

Будем считать течения смеси и пленки турбулентными и однонаправленными. Тогда математическая модель течения будет включать в себя уравнение массовой расходной концентрации (3), общий расход смеси (8), закон Блазиуса для смеси (19), балансовое уравнение (21), уравнения Нигматулина (24) и (25), приведенный закон для трения на стенке (26) и уравнение (41), учитывающее взаимодействие легкой и тяжелой фаз.

Система уравнений решалась численно для смеси при температуре , радиус канала мм, расход смеси , радиус капель м. Результаты расчетов по предложенной модели представлены в таблице 10.

Таблица 10

0.88

0.26

3.69

3.68

0.60

0.68

9.89

2.34

1.43

9.73

726

0.90

0.30

4.16

4.15

0.67

0.76

9.87

2.61

1.86

9.73

660

0.92

0.36

4.79

4.78

0.75

0.86

9.90

2.99

2.41

9.73

559

0.94

0.43

5.65

5.64

0.83

0.94

9.94

3.56

3.15

9.73

420

                                                                 

Откуда видно, что для капель м (такие капли характерны для тумана) различие в скоростях для пара и капель незначительны, поэтому среду можно считать однородной. Отметим, что трение на межфазной поверхности больше, чем трение на стенке. С увеличением концентрации скорости растут, а толщина пленки уменьшается. Поскольку расход смеси, в условиях математического эксперимента, не изменялся, то и число Рейнольдса  для смеси остается постоянным для различных режимов течения.

В таблице 11 представлены характеристики течения при температуре , радиус канала мм, расход смеси  и м. То есть, в отличии от предыдущего расчета, увеличен радиус капель.

                                                                             Таблица 11

0.88

0.27

3.76

3.16

0.60

0.69

9.85

2.33

1.48

9.73

680

0.90

0.31

4.22

3.62

0.68

0.77

9.88

2.60

1.89

9.73

624

0.92

0.36

4.84

4.24

0.75

0.86

9.91

2.99

2.44

9.73

533

0.94

0.43

5.69

5.09

0.83

0.94

9.94

3.56

3.17

9.73

404

 

Как видно из таблицы скорость пара заметно превышает скорость капель, и среду уже нельзя считать однородной. Числа Рейнольдса показывают, что режимы течений для смеси и для пленки являются турбулентными.

 

ГЛАВА 3. ТЕЧЕНИЕ ПАРОВОДЯНОЙ СМЕСИ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

 

3.1. Уравнения движения для пара и капель жидкости.

          Рассмотрим течение пароводяной смеси в горизонтальном цилиндрическом канале с теплообменом. При испарении капель жидкости концентрация пара по длине канала увеличивается, соответственно возрастают скорости каждой из фаз. В этом случае для описания процесса необходимо привлечь дифференциальные уравнения движения для пара и капель жидкости.

         Поскольку капля находится в потоке пара, то картина испарения будет несимметричной. Испарившаяся масса получает импульс из основного потока и, следовательно, тормозит его. На лобовой поверхности реактивная сила  разгоняет каплю, а в кормовой области тормозит. Суммарная сила Мещерского направлена против движения капли.

         Запишем уравнение движения для пара

                               ,                             (48)

где - лобовое давление потока пара на капли жидкости, - трение  пара о стенку канала, - реактивная сила Мещерского, обусловленная переменной массой капли (испарение).

Капельки пара оттесняются от стенки канала за счет эффекта Магнуса, поэтому тяжелая фракция не участвует в формировании величины трения на стенке канала. Тогда уравнение движения для капель запишется в виде

                                .                                  (49)

Сила взаимодействия между потоком пара и каплями, отнесенная к единице объема, определяется формулой

                                    .                                (50)

Сила трения парового потока о стенку канала для единицы объема вычисляется для ламинарного течения следующим образом

    .                                            (51)

          Найдем реактивную силу Мещерского. Для чего воспользуемся определением массовой расходной концентрации для капель

                                                .                                                (52)

Откуда  ; с другой стороны . Объединяя выражения, запишем . По определению сила Мещерского записывается для тела переменной массы в виде

                                               ,                           (53)

где - масса капель в элементарном объеме , - площадь поперечного сечения потока.

Знак минус в формуле (53) показывает, что сила направлена против относительной скорости испарившихся частиц. Для единицы объема формула (53) перепишется

                         .                              (54)

Как показано в монографии Уоллиса  сила реакции (54) делится поровну между фазами . Объединим уравнения (48) и (49), для чего вычтем уравнение (48) из (49)             

       ,                             (55)

и, с учетом (51) и (53), запишем

. (56)

         Если рассматривается течение в горизонтальном канале, то сила тяжести выпадает из уравнения движения, и тогда

.        (57)

 В уравнении (57) неизвестными величинами являются и . Следовательно, для постановки краевой задачи необходимо привлечь дополнительные соотношения. Запишем закон сохранения массового расхода пароводяной смеси, который является для нашего случая уравнением неразрывности

                           ,                                  (58)

и воспользуемся определением массовой расходной концентрации

                                         .                                                  (59)

 

3.2. Уравнение энергии для потока смеси.

          Рассмотрим равномерный подвод тепла к стенке цилиндрического канала. Обозначим  - тепловую мощность, тогда плотность теплового потока на боковой поверхности будет ; энтальпия смеси определяется выражением , где - скрытая теплота парообразования. Запишем уравнение энергии

                                         ,                                      (60)

Уравнение (60) можно упростить, если учесть  и , тогда

                                                ,                                             (61)

         Таким образом, (50),(57)-(59) и (61) образуют замкнутую систему уравнений, определяющих течение пароводяной смеси в цилиндрическом канале с теплообменом. Граничными условиями задачи будут начальные значения характеристик течения на входе в канал

при , ,  .         (62)

 

ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ КАПЛИ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Переход от определения интегральных характеристик двухфазного течения к локальным характеристикам неизбежно приводит к существенному усложнению задачи. Приходится рассматривать движения отдельных частиц или капель в градиентном потоке жидкости или газа, учитывать изменения их размеров, например при испарении. Последовательно уточняя модель течения пароводяной смеси, запишем дифференциальные соотношения для испаряющейся капли.

 

4.1. Уравнение импульсов для капли.      

В 3 главе рассмотрена модель пароводяного потока с подводом тепла, которая позволяет определить интегральные характеристики течения по длине канала. В данной главе сформулируем задачу по определению характеристик испаряющейся капли, которая двигается в горизонтальном канале вместе с газом (газом может быть водяной пар). При испарении меняется масса капли, её радиус и скорость; соответственно эти величины будем рассматривать, как функции от времени.

         Капля перемещается с ускорением в горизонтальном направлении под действием лобового давления со стороны газового потока, Эта сила вычисляется по формуле Буссинеска

                                                ,                             (63)

где r0(t) – радиус капли, t – время.

Запишем уравнение импульсов для капли

                                       , или  .                         (64)

Полученное выражение не отражает тот факт, что капля находится в потоке газа. Первое слагаемое в уравнении (64) характеризует реактивную силу Мещерского. В соответствии с анализом Уоллиса  на каплю действует только половина этой силы, т.е. .

Масса капли определяется выражением , тогда

            .                                       (65)

И уравнение (64) перепишется в виде

                              ,                  (66)

где неизвестными величинами являются r0(t) и V(t).

 

4.2. Балансовое уравнение теплообмена для капли.

         От газового потока капля получает тепло. Обозначим количество тепла необходимого для её испарения , тогда можно записать , где - скрытая теплота парообразования. С учетом выражения для массы получим

                                                  .                                             (67)

Продифференцируем (67) по времени

                                               .                                                  (68)

         С другой стороны количество подведенного тепла можно выразить через тепловой поток

                                               ,                                             (69)

где - тепловой поток от внешней среды, - площадь поверхности капли. Тепловой поток от внешней среды определяется по закону Ньютона

                                           ,                              (70)

где - коэффициент теплообмена, - температура поверхности капли, - температура внешнего потока (в дальнейшем аргумент  опускаем).                        С учетом (70) запишем производную по времени от

                                                .                                  (71)

Коэффициент теплоотдачи в безразмерном виде выражается числом Нуссельта , где - коэффициент теплопроводности набегающего потока. Тогда уравнение (71) примет вид

                                            .                                  (72)

Приравняем правые части уравнений (68) и (72)                

                                            .                                (73)

Так как размеры капель достаточно малы, то прогревается капля очень быстро (для капли  выравнивание температуры по радиусу составляет ). Поэтому температуру по радиусу капли можно считать приближенно одинаковой, т.е. . Тогда (73) перепишется

                                         .                                     (74)

 

4.3. Аналог уравнения теплопроводности.        

Количество тепла необходимое для испарения капли можно записать уравнением термодинамики

                                                 ,                                          (75)

где - теплоемкость воды при постоянном давлении.   

Взяв производную по времени от (75), получим                                            

                                     ,                                 (76)

Или, с учетом  и , выражение (76) примет вид

                            .                               (77)

После чего, приравняем правые части уравнений (72) и (77)

                            ,                    (78)

в результате получим аналог уравнения теплопроводности.

         Таким образом, система уравнений (66),(74) и (78) определяет задачу о движении испаряющейся капли в потоке газа. Начальные условия краевой задачи запишутся в виде

                                      при                                    (79)

Решение поставленной задачи можно получить, используя численные методы. Объединяя полученную систему дифференциальных уравнений с уравнениями, определяющими течение пароводяной смеси в цилиндрическом канале с теплообменом, получим более общую постановку задачи.

 

ГЛАВА 5. ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ

В ПОТОКЕ ПУАЗЕЙЛЯ

         Пусть твердая сферическая частица двигается в жидкостном потоке в горизонтальном цилиндрическом канале (рис.14).

Рис. 14. Твердая частица в потоке Пуазейля (1 – канал, 2 – частица)

 

Рассмотрим движение частицы в вертикальной плоскости симметрии, тогда цилиндрические координаты можно заменить на декартовы координаты xoy. В продольном направлении на частицу действуют градиент давления и сила лобового давления Стокса. С течением времени продольное движение частицы будет зависеть от ее перемещения по оси y. Если в начальный момент времени частица была неподвижна, то под действием указанных сил она будет разгоняться потоком до тех пор, пока ее скорость не сравняется со скоростью струйки тока.

         В поперечном направлении на частицу действует сила тяжести, которая стремится переместить частицу к нижней стенке канала, сила Архимеда, действующая в противоположном направлении, и сила сопротивления Стокса. Неоднородность поля скоростей в канале приводит к возникновению выталкивающей силы Бернулли  и вращению частицы с угловой скоростью  вокруг оси z, перпендикулярной плоскости xoy. Соотношение между этими силами определяет положение частицы в поперечном направлении.

         Выпишем выражение для силы лобового давления на частицу (по оси x)

,                 (80)

где - средняя скорость невозмущенного потока, - продольная скорость частицы, - известная функция эксцентриситета [5].

Неоднородность поля скоростей приводит к возникновению крутящего момента

,           (81)

где  - затабулированная функция [5].

Перепад давления, действующий на частицу в продольном направлении

          ,                      (82)

продольная сила от перепада давления будет

     .        (83)

Тогда уравнение движения в проекции на ось x запишется в виде

,                                            (84)

где масса частицы , а силы вычисляются по формулам (80)         и (83). Вращение частицы вокруг оси z описывается уравнением

    ,                                              (85)

где осевой момент инерции сферической частицы  , момент вращения определяется по формуле (81).

         Запишем уравнение движения в проекции на ось y, для чего необходимо выписать выталкивающую силу Бернулли. Воспользуемся интегралом Бернулли, тогда . Найдем перепад давления, действующий на частицу в поперечном направлении . Продольная скорость жидкости в горизонтальном цилиндрическом канале описывается формулой Пуазейля , или для плоской задачи . Тогда, скорость струйки тока над частицей определится выражением

           ,                            (86)

скорость струйки тока под частицей будет       

                                                .                            (87)

Вычитая (87) из (86) найдем изменение скорости

                                                 ,                                                (88)

которое определит поперечный перепад давления

                                                                                      (89)

и силу Бернулли

                                        .                                   (90)

         Силу сопротивления Стокса будем вычислять по известной формуле [6]

                                               ,                                             (91)

сила тяжести за вычетом силы Архимеда запишется в виде

                                               ,                                      (92)

и уравнение движения по оси y примет вид

                                               .                                      (93)

Зададим начальные условия:

                            при                           (94)

тогда математическая формулировка задачи будет определяться системой (84),(85),(93) и (94).

         В качестве первого приближения для угловой скорости вращения твердой сферы воспользуемся известной формулой  . Такая постановка означает, что вращение малой сферы совпадает с локальной угловой скоростью элементов жидкости. Тогда

    ,                                 (95)

откуда

 ,   или    ,                                 (96)

где - поперечная координата частицы с течением времени.

Заметим, что поперечное движение частицы может быть выделено в отдельную задачу (с учетом полученных выражений уравнение движения запишется в виде)

                                 .                     (97)

В качестве примера рассмотрим поперечное движение сферических частиц радиуса  (материал-стекло, ) в горизонтальном потоке воды (температура , средняя скорость ), радиус канала . Уравнение движения (95) с начальными условиями (94) решалось численно в пакете прикладных программ Mathcad, результаты решения представлены на графиках (рис.15) и (рис16). На рис.15 показано изменение поперечной координаты сферической частицы с течением времени

 

 

 

        

 

 

 

Рис.15. Изменение поперечной координаты сферической частицы

с течением времени

 

Полученный результат достаточно любопытен. Оказывается, что траектория одиночной частицы может находиться в нижней части поперечного сечения канала около фиксированного радиуса (в нашем случае  или ). На рис.16. показана зависимость поперечной скорости сферической частицы от времени

 

 

 

 

 

 

 

Рис.16. Зависимость поперечной скорости сферической частицы от времени

 

Из графика видно, что поперечная скорость изменяется по такому же закону, что и поперечная координата; через сравнительно короткий промежуток времени поперечная скорость частицы становится равной нулю.

         Отметим, что при определенных условиях частица оседает на нижней стенке канала. Найдем эти условия. Частица испытывает максимальную выталкивающую силу у стенки канала, где имеется наибольший градиент скорости. Пусть частица коснулась нижней стенки канала, тогда скорость струйки тока над частицей будет

                                      ,                                (98)

поскольку .

Вычислим максимальную выталкивающую силу Бернулли

                                               ,                                            (99)

тогда условие осаждения частицы запишется в виде . Откуда найдем предельную скорость потока, при котором частица радиуса  осаждается на нижнюю стенку канала

                                               .                                               (100)

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленные математические модели двухфазных течений позволяют описать различные режимы течения двухфазной смеси и получить численные решения для характеристик  потока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. 345 с.

2. Клюев Н.И., Соловьева Е.А. Квазигомогенная модель дисперсно-пленоч-ного течения двухфазной смеси // ИВУЗ Авиационная техника. 2005, №4. С. 35-38.

3. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972. 440 с.

4. Илюхин, Ю.Н., Балунов Б.Ф., Смирнов Е.Л., Готовский М.А. Гидродинамические характеристики двухфазных кольцевых противоточных потоков в вертикальных каналах  // Теплофизика высоких температур. 1988. Т. 26. № 5. С. 923 – 931.

5. Дж.Хаппель, Г.Бреннер. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 630 с.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. Двухфазные потоки                                                                   3

Глава 1. Двухскоростной режим течения газожидкостной смеси               7

        1.1. Воздействие внешнего потока на стекающую пленку

    жидкости                                                                                           7

        1.2. Режим сепарации влажного пара                                                    16

        1.3. Дисперсно – кольцевое течение                                                      20

        1.4. Взаимодействие стекающей пленки со встречным потоком

    пара в транспортной зоне термосифона                                         24

        1.5. Кризис “захлебывания” течения                                                     27

Глава 2. Течение со скольжением фаз в цилиндрическом канале              30

        2.1. Жидкостной поток с твердыми частицами в вертикальном

                канале                                                                                                30

        2.2. Модель потока дрейфа в вертикальном канале                             31

        2.3. Восходящее течение жидкости с твердыми частицами

                в вертикальном канале                                                                    34

       2.4. Трехскоростная модель дисперсно – пленочного течения            36

Глава 3. Течение пароводяной смеси с фазовыми превращениями

               в горизонтальном цилиндрическом канале                                    37

        3.1. Уравнения движения для пара и капель жидкости                        37

        3.2. Уравнение энергии для потока смеси                                             40                 

Глава 4. Движение испаряющейся капли в однородном

               потоке газа                                                                                    40

        4.1. Уравнение импульсов для капли                                                     41

        4.2. Балансовое уравнение теплообмена для капли                              42

        4.3. Аналог уравнения теплопроводности                                             43

Глава 5.Движение сферической частицы в потоке Пуазейля                      44

Заключение                                                                                                 49        

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК                                                             50